Додатковий матеріал до уроків
Виникнення геометрії сягає глибокої давнини і було обумовлено практичними потребами людської діяльності (необхідністю вимірювання земельних ділянок, вимірювання об’ємів різних тіл і т. д.). Найпростіші геометричні відомості і поняття були відомі ще в Давньому Єгипті. У цей період геометричні твердження формулювалися у вигляді правил, які даються без доказів. З VII століття до н. е. по I століття н. е. геометрія як наука бурхливо розвивалася в Стародавній Греції. У цей період відбувалося не тільки накопичення різних геометричних відомостей, а й відпрацьовувалася методика доказів геометричних тверджень, а також робилися перші спроби сформулювати основні первинні положення (аксіоми) геометрії, з яких чисто логічними міркуваннями виводиться безліч різних геометричних тверджень. Рівень розвитку геометрії в Стародавній Греції відображений у творі Евкліда «Начала». У цій книзі вперше була зроблена спроба дати систематичну побудову планіметрії на базі основних невизначених геометричних понять і аксіом (постулатів). Особливе місце в історії математики займає п’ятий постулат Евкліда (аксіома про паралельні прямі). Довгий час математики безуспішно намагалися вивести п’ятий постулат з інших постулатів Евкліда і лише в середині XIX століття завдяки дослідженням М. І. Лобачевського, Б. Рімана і Я. Бояї стало ясно, що п’ятий постулат не може бути виведений з інших, а система аксіом, запропонована Евклідом, є не єдино можлива.«Начала» Евкліда справили величезний вплив на розвиток математики. Ця книга протягом більш ніж 2-х тисяч років була не тільки підручником з геометрії, але і служила відправним пунктом для дуже багатьох математичних досліджень, в результаті яких виникли нові самостійні розділи математики.Систематична побудова геометрії зазвичай проводиться за таким планом: I. Перераховуються основні геометричні поняття, які вводяться без визначень. II. Дається формулювання аксіом геометрії. III. На основі аксіом та основних геометричних понять формулюються інші геометричні поняття і теореми.
Дійсні числа. Історична довідка
Число — це найважливіше математичне поняття. Натуральні числа, які використовують для лічби в практичній діяльності, з’явилися на самих ранніх етапах розвитку людської цивілізації.
Спочатку поняття абстрактного числа було відсутня — число було «прив’язане» до тих предметів, які перераховували, і в мові первісних народів існували різні словесні обороти для позначення одного і того ж числа різних предметів. Абстрактне поняття натурального числа (тобто числа, не пов’язаного з перерахунком конкретних предметів) з’являється і закріплюється разом з розвитком писемності і введенням для позначення чисел певних символів.
Поява дробових (додатних раціональних) чисел було пов’язано з необхідністю провести вимірювання, тобто процедуру, в якій будь-яка величина порівнюється з іншою величиною того ж роду, що вибирається в якості еталона (одиниці виміру). Але так як одиниця виміру не завжди вкладалася цілу кількість разів у вимірювану величину, і знехтувати цією обставиною в ряді випадків було не можна, то виникла практична потреба запровадити більш «дрібні» числа, ніж натуральні. Це і було джерелом виникнення найбільш «простих» дробів, таких, як половина, третина, чверть і т. д. Подальший розвиток поняття числа був обумовлений вже не тільки безпосередньою практичною діяльністю людини, а й став наслідком розвитку математики.
Введення від’ємних чисел було викликано розвитком алгебри як науки, що дає загальні способи рішення арифметичних завдань незалежно від їхнього конкретного змісту і вихідних числових даних. Від’ємні числа систематично вживалися індійськими математиками ще у VI-XI століттях. У європейській науці від’ємні числа остаточно ввійшли у вжиток лише після робіт Р. Декарта в XVII столітті, який дав їх геометричне тлумачення.
Подальше розширення поняття числа відбулося в XVII столітті в період зародження сучасної математики, коли виникла необхідність ввести чітке визначення поняття числа. Таке визначення було дано одним з основоположників математичного аналізу І. Ньютоном у «Загальній арифметиці»:
«Під числом ми розуміємо не стільки безліч одиниць, скільки абстрактне відношення якоїсь величини до іншої величини того ж роду, прийнятої нами за одиницю».
Це формулювання дає єдине визначення дійсного числа, як раціонального, так і ірраціонального. (Про існування несумірних відрізків, відношення яких є число ірраціональне, було відомо ще вченим Стародавньої Греції.)
Надалі, у 70-х роках XIX століття сувора теорія дійсного числа була розвинена в роботах Р. Дедекінда, Г. Кантора та К. Вейєрштрасса.
Найкорисніше і саме невловиме число П.
Мало якому числу з усіх чисел, які використовуються в математиці, в природничих науках, в інженерній справі і в повсякденному житті, приділяється стільки уваги, скільки приділяється числу π («Пі»). В одній книзі говориться: «Число π захоплює уми геніїв науки і математиків-любителів у всьому світі» («Fractals for the Classroom»). Деякі навіть вважають його одним з п’яти найважливіших чисел в математиці.
Число π – це відношення довжини кола до його діаметру. Ви можете обчислити довжину кола абсолютно будь-якого кола, незалежно від його радіуса. Для цього потрібно помножити діаметр цього кола на π. Грецькою літерою π це відношення вперше позначив в 1706 році англійський математик Вільям Джонс, а після того, як в 1737 році це позначення запозичив швейцарський математик Леонард Ейлер, воно стало загальноприйнятим.
Для багатьох практичних цілей цілком достатньо використовувати шість знаків числа π (π = 3,14 159). Точне ж значення числа π обчислити неможливо. Чому? Тому що це ірраціональне число, тобто його не можна написати у вигляді простого дробу. А якщо записувати його у вигляді десяткового дробу, то вона буде нескінченною. Число π можна обчислювати нескінченно, і в нього буде нескінченно багато десяткових знаків. Це, однак, не утримує математиків від утомливих спроб обчислити як можна більше десяткових знаків числа π. Більшості людей для роботи достатньо знати наближене значення – 3,14159. У XVIII столітті було точно підраховано 100 десяткових знаків, а в 1973 році два французьких математика вирахували мільйон десяткових знаків. Сьогодні Ясумаса Канада з Токійського університету, Японія, отримав за допомогою комп’ютера більше шести мільярдів десяткових знаків. Важко навіть уявити, навіщо потрібно таке точне значення цього числа, оскільки, як зазначалося в лондонській «Таймс», «всього 39 десяткових знаків достатньо для обчислення кола, що оперізує видимий Всесвіт, з похибкою, що не перевищує радіус атома водню». Не намагайтеся прочитати його підрахунки. «Якщо вимовляти без зупинки, то при швидкості одна цифра в секунду вам знадобиться приблизно 200 років», – йдеться в «Таймс».
Невідомо, хто першим виявив, що число π залишається постійною величиною, що не залежить від радіусу кола. Але точне значення числа π намагалися вирахувати ще в далекій давнині. Вавилоняни знайшли наближення, що дорівнює 3 1 / 8 (3,125). Єгиптяни були трохи менш точними і знайшли наближене значення π, рівне 3,16. У III столітті до н.е.. грецький математик Архімед зробив, ймовірно, першу наукову спробу обчислити число π. За його підрахунками π приблизно дорівнювало 3,14. До 200 року н. е.. шляхом обчислень прийшли до наближеного значення 3,1416, і до початку VI століття н. е.. це значення незалежно один від одного підтвердили китайські та індійські математики. У наші дні за допомогою потужних комп’ютерів вирахували мільярди десяткових знаків числа π. Але, як наголошується в книзі «Fractals for the Classroom», при всій важливості числа π «важко знайти сфери в наукових розрахунках, де треба було б більше двадцяти десяткових знаків [π]».
Число π з’являється у формулах, що використовуються у багатьох сферах. Фізика, електротехніка, електроніка, теорія ймовірностей, будівництво та навігація – це лише деякі з них. І здається, що подібно до того як немає кінця знаків числа π, так немає кінця і можливостям практичного застосування цього корисного, невловимого числа π.
No comments